Operações com Números Complexos

Adição e Subtração

      Sendo Z1=a+bi e Z2=c+di números complexos, definimos :

Z1+Z2=(a+c)+(b+d)i

Z1-Z2=(a-c)+(b-d)i

ou seja, basta considerar os números complexos como binômios e reduzir os termos semelhantes.

  Exemplos:

 1. Sendo Z1=4+5i e Z2=2+6i:

Z1+Z2=(4+5i)+(2+6i)=4+5i + 2+6i= 6+11i

Z1-Z2=(4+5i)-(2+6i)=4+5i-2-6i=2-i

2. Sendo Z3=4-3i e Z4=-2-7i

Z3+Z4=(4-3i) +(- 2-7i)=4-3i-2-7i=2-10i

Z3-Z4=(4-3i)-(-2-7i)=4-3i+2+7i=6+4i

3. Efetue (3-2i) +(5-5i)-(2-4i)-(-7+3i):

3-2i+5-5i-2+4i+7-3i=13-6i

Multiplicação

    Sendo Z1=a+bi e Z2=c+di dois números complexos,definimos:

Z1.Z2=(ac-bd)+(ad+dc)i

Observe:

Z1.Z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bd i²  ou substituindo  i^{2   por -1:}

^{Z1.Z2=ac+adi+bci+bd(-1)=ac+adi+bci-bd ou,finalmente:}

^{Z1.Z2=ac+adi+bci-bd}

     ^{Assim,basta considerar os números complexos como binômios,multiplica-lós e substituir}  i^{2 por -1.}

 Exemplos:

1. Sendo Z1=4+5i e Z2=2+6i:

Z1.Z2=(4+5i)(2+6i)=8+24i+10i+30 i²

^Substituindo  i^{2 por -1 e agrupando os termos:}

^{Z1.Z2=8+24i+10i-30=-22+34i}

2. Efetue(-2+3i)(5-4i):

-10+8i+15i-12 i^{2    = -10+8i+15i-12(-1)=}

^{= -10+8i+15i+12=2+23i}        

Potenciação

Considere o seguinte problema:

Determine o valor de i ⁿ , onde n é natural . 

n=0     i ⁰ = 1

n=1       i ¹ = i

n=2       i ² = – 1 

n=3       i ³ = i^{2 .} i = (–1) .i = –i

n=4       i ⁴ = i^{2  .}i² = (–1).(– 1) = 1

n=5       i ⁵ = i^{4  .}i = 1 . i = i

n=6       i ⁶ = i^{5  .} i = i . i = i² = –1 

n=7       i ⁷ = i^{6  .} i = (–1). i = – i

n=8       i ⁸ = i⁴   . i⁴ = 1. 1 = 1

^{Observamos no problema acima que as potências sucessivas de i se repetem periodicamente de acordo com a sequência 1, i, -1, -i .
Daí demostra que:}

i ⁿ =   i ^r    onde r é o resto da divisão de n por 4. 

De fato:

n/4 
r  p                      n=4p+r 

i ^{n  =i(4p+r) =i 4p.} i ^r = (i ^{4)p  .}  i ^r =(1)p. i ^r = i ^r 

Lembrete:  i ⁰ = 1, i ¹ = i,  i ² = – 1 , i ³ =–i

Exemplos:

Calcule as seguintes potências:

A)  i⁶³                                                                                                     

  

i⁶³⁼ i ^r                      63  /4  

                                   23   15

                                   3 = r 

i⁶³⁼ i ³ = -i

^B) i ⁷² 

i ⁷² =i ^{r                                       72    / 4}

                                            32    18

                                          0=r 

 i ⁷² =i ^{0  = 1} 

Divisão

Inicialmente , vamos definir conjugado de um número complexo:

Conjugado de um número complexo Z=a+bi é o número Z=a-bi.

Em linguaguem matemática:

Z=a+bi<-> z^-=a-bi

Exemplos:

1. Sendo Z=2+3i, o seu conjugado é  z^- =2-3i.
2.Sendo Z=-4+2i, o seu conjugado é  z^- =-3i. 
3. Sendo Z= 3i, o seu conjugado é z^-  = -3i.
4. Sendo Z=7 , os eu conjugado é z^-    =7.


^{Dados dois números complexos Z1 e Z2 (com Z2} ≠0), para obtermos o quociente da divisão de Z1 por Z2 ou Z1/Z2 , multiplicamos ambos os termos da fração pelo conjugado do denominador.

Exemplos:

1. Calcule   4+3i  
                         2+5i

(4+3i)  (2-5i)=   8-20i+6i-15  i ²     =8- 20i+6i+15 =23-14i =   23-14  i 
(2+5i)  (2-5i)     4-10i+10i-25i <sup>2      4-10i+10i+25        29           29   29 


2.Calcule          5+3i</sup>
                            2-i

^{(5+3i)  (2+i) = 10+5i+6i-3  = 7+11i  = 7 + 11 i}
(2-i)      (2+i)    4+2i-2i+1            5          5     5 


3. Calcule   8+ 3i
                        -5i 

8+3i   (5i)  =  40i-15   = - 15 +40 i= -3+8 i 
(-5i)    (5i)         25              25    25      5     5




Fonte:Coleção Horizontes, Jorge Daniel Silva & Valter dos Santos Fernandes Obra Executada nas oficinas do Instituto Brasileiro de edições Pedagógicas .